สรุปบทเรียน ยกที่หนึ่ง

ข้อสอบ ที่น่าสนใจมากๆ มาให้ลองทำ เพื่อว่าจะช่วยให้เพื่อนๆและน้องๆหลายคนเข้าใจและสนุกสนานกับเซตมากขึ้น

หัวข้อการบ้านของสมาชิกมีอยู่หลายหัวข้อครับ
วันนี้ พวกเราขออนุญาตเริ่มที่หัวข้อแรกที่หนักแน่น จริงจัง หนักหน่วงกันก่อน
สรุปเนื้อหาเรื่องที่เรียนเป็นไงครับ อย่าเพิ่งเครียดๆ ลองอ่านดูจะรู้ว่าน่าสนใจกว่าที่คิดขอรับ~

ฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์ (Relation)
คู่อันดับ (Ordered Pairs)คู่อันดับนั้น เกิดขึ้นจากการเรียงลำดังกันระหว่างสิ่งสองสิ่ง นั่นก็คือว่า คู่อันดับนั้น จะต้องมีคุณสมบัติเป็นคู่ และมีอันดับในตัวด้วย อะจึ๋ยๆ มันแปลว่าอะไรครับเนี่ย
ยกตัวอย่างง่ายๆนะครับ สมมติคู่อันดับของเกรดวิชาคณิตศาสตร์ กับจำนวนหน่วยกิตของวิชาคณิตศาสตร์
เกรดวิชาคณิตศาสตร์ 4 จำนวนหน่วยกิต 1 เขียนคู่อันดับได้เป็น (4,1)
แล้วเขียนสลับกันได้ป่ะ เอ้าลองเขียนสลับกันดูครับ (1,4) แปลว่า เกรดวิชาเลขเป็น1 ส่วนหน่วยกิตก็แค่4เท่านั้นเอง อะจึ๋ยๆ แบบนี้แปลว่าห้ามเขียนสลับกันโดยเด็ดขาด เพราะความหมายจะเปลี่ยนครับ
และในทางคณิตศาสตร์ คู่อันดับนั้นจะนิยมเขียนในรูปของสัญลักษณ์ โดยกำหนดให้ เป็นสมาชิกตัวหน้า และ เป็นสมาชิกตัวหลัง และตกลงว่าคู่อันดับ (a, b) นั้น จะเท่ากับคู่อันดับ (x, y) ก็ต่อเมื่อ a = x และ b = y นั่นคือ จัดลำดับเดียวกันให้นำมาเท่ากันเท่านั้นเอง

ผลคูณคาร์ทีเชียน
ถ้าเราให้ A={a,b}และ B={1,2}(คือเซต Aและ เซต B) เราสามารถที่จะหาคู่อันดับได้โดยกำหนดให้สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ Aและสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ Bเรียกเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ Aและ ของ Bเขียนแทนด้วย AxBนั่นคือ AxB={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต Aและเซต B คือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด โดยที่ xเป็นสมาชิกของ Aและ yเป็นสมาชิกของ Bและเราสามารถเขียน AxBโดยวิธีการกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้ Ax B={(x,y)lx € Aและ y € B}
(€ แทน การเป็นสมาชิกนะครับ พอดีหาตัวE-มนๆแบบนั้นไม่เจอ)
แล้วถ้าสลับเป็น BxAอ่ะ จะได้มั้ย ผลก็คือไม่ได้เพราะคำตอบจะเปลี่ยนแปลงไปตามด้านล่างนี้ครับ
Bx A={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
ส่วนในรูปแบบนี้ Ax A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} เราเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเชียนในA

ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์เขียนแทนตัวตัวอักษร r
ซึ่ง r จาก A ไป B จะเป็นซับเซตของผลคูณคาร์ทีเชียนAxB
และ r ใน A จะเป็นซับเซตของผลคูณคาร์ทีเชียนAxA
ตัวอย่าง กำหนด A={4,5,6},B={5,6,7.8}จงหา
ความสัมพันธ์ “เท่ากับ” จาก Aไป B
ให้ r1ทนความสัมพันธ์ “เท่ากับ” จาก Aไป B 4,5),(
จะได้ r1={(5,5),(6,6)}หรือ r4={(x,y) € Ax Bly=x}

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน rเรนจ์ของความสัมพันธ์ rคือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r
ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย Drและ เรนจ์ด้วย Rrดังนั้น Dr={xl(x,y) € r}และ Rr={xl(x,y) € r}
การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด yในรูปของ xนั่นคือ y=f(x)แล้วพิจารณาค่าของ xที่ทำให้ yเป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด
การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด xในรูปของ yนั่นคือ x=f(y)แล้วพิจารณาค่าของ yที่ทำให้ x
เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด
ตัวอย่าง จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. r={(x,y) € Rx Rly=x+5}
2. r={(x,y) € RxRly=x2-4}
3. r={(x,y) € Rx Rly=9-x2}
การแก้ปัญหา :
1. r={(x,y) € Rx Rly=x+5}
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
(กรุณาดูจากภาพประกอบด้านบนสุด)
จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน xและทุกจุดบนแกน yสามารถเขียนกราฟของ y=x+5ได้เสมอ
แสดงว่า Dr={xlx € R}และ Rr={yly € R}
หรือ Dr=Rr={xlx € R}
หรือ Dr=Rr ={yly € R}
วิธีที่ 2 พิจารณาจากความสัมพันธ์ y=x+5จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า xด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า yที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ y=x+5ได้เสมอ
นั่นคือ Dr={ xlx € R}และ Rr ={yly € R}

ตอนนี้พวกเราเรียนถึงแค่เนื้อหาตรงนี้ครับ ถ้ามีเพิ่มเติมคงเป็นโอกาสหน้า
วันนี้เราขอขอบคุณข้อมูล กราฟ และภาพต่างๆจาก http://mail.vcharkarn.com/varticle/18753/1 ที่ช่วยให้การพิมพ์ของเราง่ายขึ้นมากๆ และขอบคุณอาจารย์ที่น่ารักทั้งสองท่านของเราที่ประสิทธิ์ประสาทวิชาให้แก่พวกเราด้วยความอดทนและเมตตายิ่ง
และคนเขียนวันนี้ก็ยังคงเป็นสาวน้อยน่ารักเช่นเดิมครับ อิอิ ถูกหลอกด้วยคำลงท้ายเสียงอ่ะดิ